Методика преподавания раздела "Основы логики" в профильных курсах информатики

Тема. Решение логических задач  с помощью рассуждений и средствами алгебры логики. 

 Цель урока. Получить представление о решении логических задач средствами алгебры логики

Ход урока

I. Проверка домашнего задания и самостоятельной работы.

Вариант 1.	Вариант 2.
1. A+(¬A&B)=A+B	1. A&(¬A+B)+A&B
2. (A&B&¬B)+(A&¬A)+(B&C&¬C)=0	2. A&B&¬C)+(A&B&C)+¬(A+B)=1
3. (к отрицаниям неэлементарных формул применяется правило де Моргана; используются законы двойного отрицания и склеивания);	3 (общий множитель x выносится за скобки, комбинируются слагаемые в скобках — первое с третьим и второе с четвертым, к дизъюнкции применяется правило операции переменной с её инверсией);

II. Объяснение нового материала

Разнообразие логических задач и способов их решения очень велико. Но наибольшее распространение получили следующие способы решения логических задач:

•   средствами алгебры логики;
•  с помощью рассуждений.
•  табличный;
•  с помощью графов.

Рассмотрим решение логических задач средствами алгебры логики

Обычно используется следующая схема решения:

1. изучается условие задачи;

2. вводится система обозначений для логических высказываний;

3. конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;

4. определяются значения истинности этой логической формулы;

5. из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.

ЗАДАЧА   1

 В соревнованиях по гимнастике на первенство школы участвуют Алла, Валя, Таня и Даша. Болельщики высказали предположения о возможных победителях:
1: “Первой будет Таня, Валя будет второй”.
2: “Второй будет Таня, Даша - третьей”.
3: “Алла будет второй, Даша - четвертой”.
По окончании соревнований оказалось, что в каждом предположении только одно из высказываний истинно, другое же ложно. Какое место на соревнованиях заняла каждая из девочек, если все они оказались на разных местах?

Решение. Введем буквенные обозначения всех высказываний, задающих условие задачи:
T₁ - “Таня будет первой”;
W₂ - “Валя будет второй”;
T_{2 -} “Таня будет второй”;
D_{3 -} “ Даша будет третьей”;
A_{2 -} “ Алла будет второй”;
D₄ - “Даша будет четвертой”.
Высказывание каждого болельщика о двух спортсменах можно задать формулами:
(1)
(2)
(3)
Помним, что в условии сказано: в каждом предположении только одно из высказываний истинно, другое ложно. Следует учесть и то, что ни одно место не было разделено участниками.
Это условие можно задать формулами:
A₂Ч W₂ є0 или (4)
T₂Ч A₂є0 или или (5)
T₂Ч W₂є 0 или (6)

То обстоятельство, что ни один участник не может занять два разных места, задано формулами (7) и (8).
D₃Ч D₄є 0 или (7)
T₁Ч T₂є 0 или (8)
Система уравнений решается умножением одного уравнения на другое и нахождением истинного выражения.
Умножая уравнение (1) на (2), получим:
(9)
Умножаем полученное уравнение (9) на (3), получаем:

Итак, мы получим ответ:

Ответ: Таня - первая; Валя - четвертая; Даша - третья; Алла - вторая.

ЗАДАЧА   2

Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок.

— Вот увидишь, Шумахер не придет первым, — сказал Джон. Первым будет Хилл.

— Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, — воскликнул Ник. — А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.

Питер, к которому обратился Ник, возмутился:

— Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину.

По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?

Решение. Введем обозначения для логических высказываний:

Ш — победит Шумахер; Х — победит Хилл; А — победит Алези.

Реплика Ника "Алези пилотирует самую мощную машину" не содержит никакого утверждения о месте, которое займёт этот гонщик, поэтому в дальнейших рассуждениях не учитывается.

Зафиксируем высказывания каждого из друзей:

Учитывая то, что предположения двух друзей подтвердились, а предположения третьего неверны, запишем и упростим истинное высказывание

Высказывание истинно только при Ш=1, А=0, Х=0.

Ответ. Победителем этапа гонок стал Шумахер.

ЗАДАЧА   1

Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение. Имеется три утверждения:

1. Вадим изучает китайский;
2. Сергей не изучает китайский;
3. Михаил не изучает арабский.

Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.

Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.

ЗАДАЧА   2

 В поездке пятеро друзей — Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша, знакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение:

Дима сказал: "Моя фамилия — Молотов, а фамилия Бориса — Хрущев". Антон сказал: "Молотов — это моя фамилия, а фамилия Вадима — Брежнев". Борис сказал: "Фамилия Вадима — Тихонов, а моя фамилия — Молотов". Вадим сказал: "Моя фамилия — Брежнев, а фамилия Гриши — Чехов". Гриша сказал: "Да, моя фамилия Чехов, а фамилия Антона — Тихонов".

Какую фамилию носит каждый из друзей?

Решение. Обозначим высказывательную форму "юноша по имени А носит фамилию Б" как А_Б, где буквы А и Б соответствуют начальным буквам имени и фамилии.

Зафиксируем высказывания каждого из друзей:

1. Д_М и Б_Х;
2. А_М и В_Б;
3. В_Т и Б_М;
4. В_Б и Г_Ч;
5. Г_Ч и А_Т.

Значит остается другой случай: истинно Б_Х. Этот случай приводит к цепочке умозаключений: Б_Х истинно ® Б_М ложно ® В_Т истинно ® А_Т ложно ® Г_Ч истинно ® В_Б ложно ® А_М истинно.

Ответ: Борис — Хрущев, Вадим — Тихонов, Гриша — Чехов, Антон — Молотов, Дима — Брежнев.

ЗАДАЧА   3

 Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопрос журналистов: "Чей именно проект был принят?", министры дали такие ответы:
Россия — "Проект не наш, проект не США";
США — "Проект не России, проект Китая";
Китай — "Проект не наш, проект России".

Один из них (самый откровенный) оба раза говорил правду; второй (самый скрытный) оба раза говорил неправду, третий (осторожный) один раз сказал правду, а другой раз — неправду.

Определите, представителями каких стран являются откровенный, скрытный и осторожный министры.

Решение. Для удобства записи пронумеруем высказывания дипломатов:
Россия — "Проект не наш"   (1),   "Проект не США"   (2);
США —   "Проект не России"   (3),   "Проект Китая"   (4);
Китай —   "Проект не наш"   (5),   "Проект России"   (6).

Узнаем, кто из министров самый откровенный.

Если это российский министр, то из справедливости (1) и (2) следует, что победил китайский проект. Но тогда оба утверждения министра США тоже справедливы, чего не может быть по условию.

Если самый откровенный — министр США, то тогда вновь получаем, что победил китайский проект, значит оба утверждения российского министра тоже верны, чего не может быть по условию.

Получается, что наиболее откровенным был китайский министр. Действительно, из того, что (5) и (6) справедливы, cледует, что победил российский проект. А тогда получается, что из двух утверждений российского министра первое ложно, а второе верно. Оба же утверждения министра США неверны.

Ответ: Откровеннее был китайский министр, осторожнее — российский, скрытнее — министр США.

IV. Домашнее задание

1. §3.6;

2.  конспект;

3. №3.7;

На главную  Уроки