Математические этюды : Этюды : Циклоида


Скачать фильм в высоком качестве Скачать фильм в среднем качестве	— 768×576 — 320×240	[DivX, 22 Мбайта] [DivX, 7,7 Мбайта]	[Zipped DivX, 20 Мбайт] [Zipped DivX, 7,3 Мбайта]
Скачать локальную версию сайта
Перед просмотром рекомендуем прочитать текст!

Помните оранжевые пластмассовые катафоты — светоотражатели, прикрепляющиеся к спицам велосипедного колеса? Прикрепим катафот к самому ободу колеса и проследим за его траекторией. Полученные кривые принадлежат семейству циклоид.

Колесо при этом называется производящим кругом (или окружностью) циклоиды.

Но давайте вернемся в наш век и пересядем на более современную технику. На пути байка попался камушек, который застрял в протекторе колеса. Провернувшись несколько кругов с колесом, куда полетит камень, когда выскочит из протектора? Против направления движения мотоцикла или по направлению?

Как известно, свободное движение тела начинается по касательной к той траектории, по которой оно двигалось. Касательная к циклоиде всегда направлена по направлению движения и проходит через верхнюю точку производящей окружности. По направлению движения полетит и наш камушек.

Помните, как Вы катались в детстве по лужам на велосипеде без заднего крыла? Мокрая полоска на вашей спине является житейским подтверждением только что полученного результата.

Век XVII — это век циклоиды. Лучшие ученые изучали ее удивительные свойства.

Какая траектория приведет тело, движущееся под действием силы тяжести, из одной точки в другую за кратчайшее время? Это была одна из первых задач той науки, которая сейчас носит название вариационное исчисление.

Минимизировать (или максимизировать) можно разные вещи — длину пути, скорость, время. В задаче о брахистохроне минимизируется именно время (что подчеркивается самим названием: брахи — наименьшее, хрона — время, греческий).

Первое что приходит на ум — это прямолинейная траектория. Давайте также рассмотрим перевернутую циклоиду с точкой возврата в верхней из заданных точек. И, следуя за Галилео Галилеем, — четвертинку окружности, соединяющую наши точки.

Сделаем бобслейные трассы с рассмотренными профилями и проследим, какой из бобов приедет первым.

История бобслея берет свое начало в Швейцарии. В 1924 году, во французском городе Шамони, проходят Первые зимние Олимпийские игры. На них уже проводятся соревнования по бобслею для экипажей двоек и четверок. Единственный год, когда на Олимпийских играх экипаж боба состоял из 5 человек, был 1928. С тех пор в бобслее всегда соревнуются мужские экипажи двойки и четверки. В правилах бобслея много интересного. Конечно же, существует ограничения на вес боба и команды, но существуют даже ограничения на материалы, которые можно использовать в коньках боба (передняя пара их подвижна и связана с рулем, задняя закреплена жестко). Например, радий не может использоваться при изготовлении коньков.

Дадим старт нашим четверкам. Какой же боб первым приедет к финишу? Боб зеленого цвета, выступающий за команду Математических этюдов и катившийся по циклоидальной горке приходит первым!

Почему же Галилео Галилей рассматривал четвертинку окружности и считал что это наилучшая в смысле времени траектория спуска? Он вписывал в нее ломанные и заметил, что при увеличении числа звеньев время спуска уменьшается. Отсюда Галилей естественным образом перешел к окружности, но сделал неверный вывод, что эта траектория наилучшая среди всех возможных. Как мы видели, наилучшей траекторией является циклоида.

Через две данные точки можно провести единственную циклоиду с условием, что в верхней точке находится точка возврата циклоиды. И даже когда циклоиде приходится подниматься, чтобы пройти через вторую точку, она все равно будет кривой наискорейшего спуска!

Еще одна красивая задача, связанная с циклоидой — задача о таутохроне. В переводе с греческого тауто означает одинаковое, хрона, как мы уже знаем — время.

Сделаем три одинаковые горки с профилем в виде циклоиды, так, чтобы конец горки приходился в вершину циклоиды. Поставим три боба на разные высоты и дадим отмашку. Удивительнейший факт — все бобы приедут вниз одновременно!

Зимой Вы можете построить во дворе горку изо льда и проверить это свойство вживую.

Задача о таутохроне состоит в нахождении такой кривой, что, начиная с любого начального положения, время спуска в заданную точку будет одинаковым.

Христиан Гюйгенс доказал, что единственной таутохроной является циклоида.

Конечно же, Гюйгенса не интересовал спуск по ледяным горкам. В то время ученые не имели такой роскоши заниматься науками из любви к искусству. Задачи, которые изучались, исходили из жизни и запросов техники того времени. В XVII веке совершаются уже дальние морские плавания. Но удивительно, что широту моряки умели определять уже достаточно точно, а вот долготу не умели определять совсем. И один из предлагавшихся способов измерения широты был основан на наличие точных хронометров.

Первый, кто задумал делать маятниковые часы, которые были бы точны, был Галилео Галилей. Однако в тот момент, когда он начинает их реализовывать, он уже стар, он слеп, и за оставшийся год своей жизни он не успевает сделать часы. Он завещает это сыну, однако тот медлит и начинает заниматься маятником тоже лишь перед смертью и не успевает сделать. Следующей знаковой фигурой был Христиан Гюйгенс.

Он заметил, что период колебания обычного маятника, рассматривавшегося Галилеем, зависит от изначального положения, т.е. от амплитуды. Задумавшись о том, какова должна быть траектория движения груза, чтобы время качения по ней не зависело от амплитуды, он решает задачу о таутохроне. Но как заставить груз двигаться по циклоиде? Переводя теоретические исследования в практическую плоскость, Гюйгенс делает «щечки», на которые наматывается веревка маятника, и решает еще несколько математических задач. Он доказывает, что «щечки» должны иметь профиль той же самой циклоиды, тем самым показывая, что эволютой циклоиды является циклоида с теми же параметрами.

Кроме того, предложенная Гюйгенсом конструкция циклоидального маятника позволяет посчитать длину циклоиды. Если синюю ниточку, длина которой равна четырем радиусам производящего круга, максимально отклонить, то ее конец будет в точке пересечения «щечки» и циклоиды-траектории, т.е. в вершине циклоиды-«щечки». Так как это половина длины арки циклоиды, то полная длина равна восьми радиусам производящего круга.

Христиан Гюйгенс сделал циклоидальные маятник и часы с ним проходили испытания в морских путешествиях, но не прижились. Впрочем, так же как и часы с обычным маятником для этих целей.

Отчего же, однако, до сих пор существуют часовые механизмы с обыкновенным маятником? Если приглядеться, то при малых отклонениях, как у красного маятника, «щечки» циклоидального маятника почти не оказывают влияния. Соответственно движение по циклоиде и по окружности при малых отклонениях почти совпадают.

Скачать фильм в высоком качестве
Скачать фильм в среднем качестве — 768×576
— 320×240 [DivX, 22 Мбайта]
[DivX, 7,7 Мбайта] [Zipped DivX, 20 Мбайт]
[Zipped DivX, 7,3 Мбайта]

Скачать локальную версию сайта