Методика преподавания раздела "Основы логики" в профильных курсах информатики

Задача 1.

Решение. Введем обозначения:
     B  - виноват Браун;
     C  - виноват Смит;
     D  - виноват Джонс.
Тогда утверждения, высказанные задержанными, можно записать в виде конъюнкций , из которых по условию задачи, две ложны, а одна истинна. Истинной будет формула , но из этой формулы решение получится только дополнительным рассуждением: пусть B = 1, тогда по условию C = 0 и D = 0. Но тогда из трех конъюнкций, составляющих К две будут верны: , а это противоречит условию. Значит В=0. Видно, что C=1 удовлетворяет условию задачи, и это решение единственно, так как если предположить, что D = 1, то это будет означать, что , а значит, что либо В, либо С равно 1, но это противоречит тому, что преступник только один.

Таким образом, преступник – Смит, оба его высказывания ложны, у Брауна одно высказывание ложно, одно нет, а Джонс сказал правду.

Задача 2.

Решение.
  A - поедет Арбузов.
  B - поедет Брюквин.
 W - поедет Вишневский.
     1)A -> (B+W);
     2)AW -> B.
     M = (A'+B+W)(A'+W'+B) = A'+B = A -> B, т.е. если поедет Арбузов, то поедет и Брюквин.

Задача 4.

Ответ: Немец, зеленый дом, кофе, Rothmans, РЫБКА!!!!

Задача 5.

Решение. Определим следующие простые высказывания:

Запишем (и сразу упростим) сложные высказывания, выражающие приведенные факты:
(1) !B -> A  =  !( !B) || A   =   B || A (истинность неизвестна);
(2) !C -> B  =  !( !C) || B = C || B = F (высказывание ложно);
(3) !B -> C  =  !( !B) || C = B || C = C || B (истинность неизвестна);
(4) !A -> B  =  !( !A) || B = A || B = T (высказывание истинно).

Заметим, что после упрощения высказывание (3) совпало с высказыванием (2), которое ложно. Таким образом, высказывание (3), произнесенное Фредом, также ложно.

Из ложности высказывания (2) следует ложность каждого дизъюнкта, входящего в него, т. е. C = F и B = F.

Подставив найденное значение B в высказывание (4) получаем A || B = A || F = T, что возможно лишь если A = T, т. е. машину угнал Боб.

Рассмотрим высказывание Джека (1): B || A = F || T = T - оно истинно.

Итак, Джек сказал правду, а Фред соврал. Машину угнал Боб.

Задача 6.

Решение. Запишем сложные высказывания, выражающие известные факты:
a) (A && B) -> !C;
б) !B -> C && D;
в) C.

Запишем произведение (конъюнкцию) указанных сложных высказываний. Так как все они истинны, то и произведение тоже истинно:
 

Упростив эту формулу, получим

Отсюда по свойствам конъюнкции получаем, A = F, B = F, C = T, D = T. Значит, в шахматы играют C и D, а A и B - не играют.

Задача 8

Решение: Введем обозначения простых высказываний:

«Это сосуд греческий» – ;

«Это сосуд финикийский» – F;

«Сосуд изготовлен в V веке» – 5;

«Сосуд изготовлен в III веке» – 3;

«Сосуд изготовлен в IV веке» – 4.

Можно составить формулы высказываний каждого из школьников с учетом высказывания учителя. Формула Алешиного высказывания имеет вид G5. Учитель сказал, что Алеша прав только в одном из своих утверждений, поэтому либо G = 1, либо 5 = 1. Истинным будет высказывание , то есть высказывание «Сосуд греческий и изготовлен не в 5 веке или сосуд не греческий и изготовлен в 5 веке». Аналогично, высказывание Бори можно представить формулой и высказывание Гриши формулой .

Полученные формулы можно рассматривать как логические уравнения и решать систему: .

Первое высказывание умножается на второе:

.

Произведение – ложно потому, что сосуд не может быть изготовлен одновременно в Греции и Финикии, произведение – ложно потому, что сосуд не может быть изготовлен одновременно в 3 и 5 вв. После исключения этих высказываний получается следующее уравнение: . Это уравнение умножается на третье логическое уравнение составленной системы:

.

Высказывания исключены как ложные. Из полученного высказывания следует, что «Сосуд изготовлен в Финикии и сосуд изготовлен в 5 веке». Это утверждение согласуется с данными поставленной задачи.

Задача 9

Решение. Будем обозначать высказывания зрителей Х_k , где Х – первая буква имени участника турнира, а k – номер места, которое он занял в турнире. В высказываниях зрителей одно высказывание может быть ложным, поэтому будут истинными дизъюнкции этих высказываний А₂Ъ Б₅, В₂ Ъ Д₃ , Г₁Ъ Б₃ , А₃ Ъ Е₆ , В₃Ъ Е₄. Но тогда истинной будет конъюнкция : K= (А₂ ЪБ₅)(В₂Ъ Д₃)(Г₁ ЪБ₃ )(А₃ Ъ Е₆)(В₃Ъ Е₄ ) = 1.

Учитывая, что Х_k Х_п = 0 при k № п и Х_kY_k = 0 при X№ Y, получаем путем последовательного раскрытия скобок в К:

К = (А₂Д₃ ЪБ₅В₂ ЪБ₅Д₃)( Г₁А₃Ъ Г₁Е₆ ЪБ₃Е₆)(В₃Ъ Е₄) =

= (А₂Д₃Г₁Е₆ ЪБ₅В₂Г₁А₃ Ъ Б₅В₂Г₁Е₆ Ъ Б₅Д₃Г₁Е₆)(В₃Ъ Е₄) =  А₃Б₅В₂Г₁Е₄ = 1

Полученное соотношение дает распределение первых 5 мест и автоматически получаем, что Денис был шестым т. е. Д₆ = 1.

Задача10

Ответ. Варенье ел Вася, так как только при одном (третьем) варианте возможных значений ответ двоих - 1 и 1, а ответ одного — 0 и 1.

На главную    Уроки     Задачи